Question

19．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$，x∈（0，+∞）．
（1）證明：f（x）在區(qū)間（0，1]上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
（2）試求函數(shù)f（x）的最大值或最小值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，從而判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最值．

解答 解：（1）證明：∵f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在區(qū)間（0，1]上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；
（2）由（1）知，f（x）有最小值，無(wú)最大值；
f_min（x）=f（1）=1+1=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．