Question

7．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥側面BB₁C₁C，AB=BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=$\frac{π}{3}$．
（1）求證：C₁B⊥平面ABC；
（2）點B₁到平面ACC₁A₁的距離為d₁，點A₁到平面ABC₁的距離為d₂，求$\frac{hbj7z5p_{1}}{slfzglu_{2}}$．

Answer 1

分析 （1）由已知推導出AB⊥BC₁，BC⊥BC₁，由此能證明BC₁⊥平面ABC．
（2）由${V}_{{C}_{1}-ABC}={V}_{{B}_{1}-AO{C}_{1}}$，得點B₁到平面ACC₁A₁的距離為$fpjzewm_{1}=\frac{\sqrt{21}}{7}$，點A₁到平面ABC₁的距離即B₁到平面ABC₁的距離，由此能求出$\frac{7h2z7bz_{1}}{sch3mzi_{2}}$．

解答 證明：（1）∵側面AB⊥BB₁C₁C，BC₁?側面BB₁C₁C，∴AB⊥BC₁，
在△BCC₁中，BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理得$B{{C}_{1}}^{2}=B{C}^{2}+C{{C}_{1}}^{2}$-2BC•CC₁•cos∠BCC₁=$1+4-2×1×2×cos\frac{π}{2}$=3，
∴$B{C}_{1}=\sqrt{3}$，∴BC²+BC₁²=CC₁²，∴BC⊥BC₁，
∵BC∩AB=B，∴BC₁⊥平面ABC．
解：點B₁連化為點N，${V}_{{C}_{1}-ABC}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，${S}_{△AO{C}_{1}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$，
又${V}_{{C}_{1}-ABC}={V}_{{B}_{1}-AO{C}_{1}}$，
∴點B₁到平面ACC₁A₁的距離為$tqxkejz_{1}=\frac{\sqrt{21}}{7}$，
點A₁到平面ABC₁的距離即B₁到平面ABC₁的距離，
由題意B₁C₁⊥平面ABC₁，∴d₂=B₁C₁=1．
∴$\frac{twqkeus_{1}}{aztnw3j_{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查點到平面的距離的比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．