Question

12．△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，P為△ABC平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=7
（1）求P到平面ABC的距離；
（2）求P到AC的距離；
（3）求PA，PB與平面ABC所成的角的大�。�

Answer 1

分析 （1）由已知P在平面ABC上的射影是BC的中點(diǎn)O，由此能求出P到平面ABC的距離．
（2）過O作OD⊥AC，交AC于D，連結(jié)PD，則由三垂線定理得PD⊥AC，由此能求出P到AC的距離．
（3）由PO⊥平面ABC，得∠PAO是PA與平面ABC所成的角，∠PBO是與平面ABC所成的角，由此能求出PA，PB與平面ABC所成的角的大小．

解答 解：（1）∵△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，
∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
∵PA=PB=PC=7，∴P在平面ABC上的射影是BC的中點(diǎn)O，
∴P到平面ABC的距離PO=$\sqrt{P{B}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{49-\frac{169}{4}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
（2）過O作OD⊥AC，交AC于D，連結(jié)PD，則由三垂線定理得PD⊥AC，
∵AO=OC=$\frac{13}{2}$，∴D是AC中點(diǎn)，∴OD=$\sqrt{A{O}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{\frac{169}{4}-36}$=$\frac{5}{2}$．
∴P到AC的距離PD=$\sqrt{P{O}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{\frac{27}{4}+\frac{25}{4}}$=$\sqrt{13}$．
（3）∵PO⊥平面ABC，
∴∠PAO是PA與平面ABC所成的角，∠PBO是與平面ABC所成的角，
∵PA=PB=7，OB=OA=$\frac{13}{2}$，
∴cos∠PAO=cos∠PBO=$\frac{BO}{PB}$=$\frac{\frac{13}{2}}{7}$=$\frac{13}{14}$，
∴PA，PB與平面ABC所成的角的大小均為arccos$\frac{13}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到平面、點(diǎn)到直線的距離的求法，考查線面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．