【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bx﹣alnx.
(1)若x=2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),1和x0是函數(shù)f(x)的兩個(gè)不同零點(diǎn),且x0∈(n,n+1),n∈N,求n.
(2)若對(duì)任意b∈[﹣2,﹣1],都存在x∈(1,e)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),使得f(x)<0成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解: ,∵x=2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),∴

∵1是函數(shù)f(x)的零點(diǎn),得f(1)=1+b=0,

,解得a=6,b=﹣1.

∴f(x)=x2﹣x﹣6lnx,

= ,x∈(0,+∞),得x>2;

令f′(x)<0得0<x<2,

所以f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減;在(2,+∞)上單調(diào)遞增.

故函數(shù)f(x)至多有兩個(gè)零點(diǎn),其中1∈(0,2),x0∈(2,+∞),

因?yàn)閒(2)<f(1)=0,f(3)=6(1﹣ln3)<0,f(4)=6(2﹣ln4)= 0,

所以x0∈(3,4),故n=3.


(2)解:令g(b)=xb+x2﹣alnx,b∈[﹣2,﹣1],則g(b)為關(guān)于b的一次函數(shù)且為增函數(shù),

根據(jù)題意,對(duì)任意b∈[﹣2,﹣1],都存在x∈(1,e)(e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),使得f(x)<0成立,

則在x∈(1,e)上 ,有解,

令h(x)=x2﹣x﹣alnx,只需存在x0∈(1,e)使得h(x0)<0即可,

由于 ,

令φ(x)=2x2﹣x﹣a,x∈(1,e),φ'(x)=4x﹣1>0,

∴φ(x)在(1,e)上單調(diào)遞增,φ(x)>φ(1)=1﹣a,

①當(dāng)1﹣a≥0,即a≤1時(shí),φ(x)>0,即h′(x)>0,h(x)在(1,e)上單調(diào)遞增,∴h(x)>h(1)=0,不符合題意.

②當(dāng)1﹣a<0,即a>1時(shí),φ(1)=1﹣a<0,φ(e)=2e2﹣e﹣a

若a≥2e2﹣e>1,則φ(e)<0,所以在(1,e)上φ(x)<0恒成立,即h′(x)<0恒成立,∴h(x)在(1,e)上單調(diào)遞減,

∴存在x0∈(1,e)使得h(x0)<h(1)=0,符合題意.

若2e2﹣e>a>1,則φ(e)>0,∴在(1,e)上一定存在實(shí)數(shù)m,使得φ(m)=0,

∴在(1,m)上φ(x)<0恒成立,即h′(x)<0恒成立,∴h(x)在(1,e)上單調(diào)遞減,

∴存在x0∈(1,e)使得h(x0)<h(1)=0,符合題意.

綜上所述,當(dāng)a>1時(shí),對(duì)任意b∈[﹣2,﹣1],都存在x∈(1,e)(e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),使得f(x)<0成立


【解析】(1)先求導(dǎo)得到 ,由 ,f(1)=1+b=0,得到a與b的值,再令導(dǎo)數(shù)大于0,或小于0,得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再由零點(diǎn)存在性定理得到得到x0∈(3,4),進(jìn)而得到n的值;(2)令g(b)=xb+x2﹣alnx,b∈[﹣2,﹣1],問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在x∈(1,e)上g(b)max=g(﹣1)<0有解即可,亦即只需存在x0∈(1,e)使得x2﹣x﹣alnx<0即可,連續(xù)利用導(dǎo)函數(shù),然后分別對(duì)1﹣a≥0,1﹣a<0,看是否存在x0∈(1,e)使得h(x0)<h(1)=0,進(jìn)而得到結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù) 的取值范圍,

(2)當(dāng)時(shí),關(guān)于的方程在[1,4]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,

求實(shí)數(shù)的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣1﹣x.
(1)若存在x∈[﹣1,ln ],滿足a﹣ex+1+x<0成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(2)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥(t﹣1)x恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí),需包車前往,甲車隊(duì)說(shuō):“如果領(lǐng)隊(duì)買一張全票,其余人可享受7折優(yōu)惠!币臆囮(duì)說(shuō):“你們屬于團(tuán)體票,按原價(jià)的7.5折優(yōu)惠!边@兩個(gè)車隊(duì)的原價(jià)、車型都是一樣的,試根據(jù)單位去的人數(shù)比較兩車隊(duì)的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖所示,一根水平放置的長(zhǎng)方體枕木的安全負(fù)荷與它的厚度d的平方和寬度a的乘積成正比,與它的長(zhǎng)度l的平方成反比.

(1)在a>d>0的條件下,將此枕木翻轉(zhuǎn)90°(即寬度變?yōu)榱撕穸龋,枕木的安全?fù)荷會(huì)發(fā)生變化嗎?變大還是變。
(2)現(xiàn)有一根橫截面為半圓(半圓的半徑為R= )的柱形木材,用它截取成橫截面為長(zhǎng)方形的枕木,其長(zhǎng)度即為枕木規(guī)定的長(zhǎng)度l,問(wèn)橫截面如何截取,可使安全負(fù)荷最大?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】共享單車是指企業(yè)在校園、地鐵站點(diǎn)、公交站點(diǎn)、居民區(qū)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等提供自行車單車共享服務(wù),是共享經(jīng)濟(jì)的一種新形態(tài),一個(gè)共享單車企業(yè)在某個(gè)城市就“一天中一輛單車的平均成本(單位:元)與租用單車的數(shù)量(單位:車輛)之間的關(guān)系”進(jìn)行調(diào)查研究,在調(diào)查過(guò)程中進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得出相關(guān)數(shù)據(jù)見下表:

租用單車數(shù)量(千輛)

2

3

4

5

8

每天一輛車平均成本(元)

3.2

2.4

2

1.9

1.7

根據(jù)以上數(shù)據(jù),研究人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型,得到兩個(gè)回歸方程,方程甲: ,方程乙: .

(1)為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果,完成以下任務(wù):

①完成下表(計(jì)算結(jié)果精確到0.1)(備注: , 稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差(也叫隨機(jī)誤差));

租用單車數(shù)量(千輛)

2

3

4

5

8

每天一輛車平均成本(元)

3.2

2.4

2

1.9

1.7

模型甲

估計(jì)值

2.4

2.1

1.6

殘差

0

0.1

模型乙

估計(jì)值

2.3

2

1.9

殘差

0.1

0

0

②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和,并通過(guò)比較, 的大小,判斷哪個(gè)模型擬合效果更好.

(2)這個(gè)公司在該城市投放共享單車后,受到廣大市民的熱烈歡迎,共享單車常常供不應(yīng)求,于是該公司研究是否增加投放,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,這個(gè)城市投放8千輛時(shí),該公司平均一輛單車一天能收入10元,6元收入的概率分別為0.6,0.4;投放1萬(wàn)輛時(shí),該公司平均一輛單車一天能收入10元,6元收入的概率分別為0.4,0.6,問(wèn)該公司應(yīng)該投放8千輛還是1萬(wàn)輛能獲得更多利潤(rùn)?(按(1)中擬合效果較好的模型計(jì)算一天中一輛單車的平均成本,利潤(rùn)=收入—成本).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】共享單車是指企業(yè)在校園、地鐵站點(diǎn)、公交站點(diǎn)、居民區(qū)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等提供自行車單車共享服務(wù),是共享經(jīng)濟(jì)的一種新形態(tài),一個(gè)共享單車企業(yè)在某個(gè)城市就“一天中一輛單車的平均成本(單位:元)與租用單車的數(shù)量(單位:車輛)之間的關(guān)系”進(jìn)行調(diào)查研究,在調(diào)查過(guò)程中進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得出相關(guān)數(shù)據(jù)見下表:

租用單車數(shù)量(千輛)

2

3

4

5

8

每天一輛車平均成本(元)

3.2

2.4

2

1.9

1.7

根據(jù)以上數(shù)據(jù),研究人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型,得到兩個(gè)回歸方程,方程甲: ,方程乙: .

(1)為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果,完成以下任務(wù):

①完成下表(計(jì)算結(jié)果精確到0.1)(備注: , 稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差(也叫隨機(jī)誤差));

租用單車數(shù)量(千輛)

2

3

4

5

8

每天一輛車平均成本(元)

3.2

2.4

2

1.9

1.7

模型甲

估計(jì)值

2.4

2.1

1.6

殘差

0

0.1

模型乙

估計(jì)值

2.3

2

1.9

殘差

0.1

0

0

②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和,并通過(guò)比較, 的大小,判斷哪個(gè)模型擬合效果更好.

(2)這個(gè)公司在該城市投放共享單車后,受到廣大市民的熱烈歡迎,共享單車常常供不應(yīng)求,于是該公司研究是否增加投放,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,這個(gè)城市投放8千輛時(shí),該公司平均一輛單一天能收入10元,6元收入的概率分別為0.6,0.4;投放1萬(wàn)輛時(shí),該公司平均一輛單車一天能收入10元,6元收入的概率分別為0.4,0.6,問(wèn)該公司應(yīng)該投放8千輛還是1萬(wàn)輛能獲得更多利潤(rùn)?(按(1)中擬合效果較好的模型計(jì)算一天中一輛單車的平均成本,利潤(rùn)=收入—成本).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)判斷函數(shù)的單調(diào)性;

(Ⅱ)求證: .

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知定點(diǎn),定直線,動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比等于.

(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;

(2)設(shè)軌跡軸負(fù)半軸交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作不與軸重合的直線交軌跡于兩點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn).試問(wèn):在軸上是否存在定點(diǎn),使得?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案