Question

18．在△ABC中，（$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|}}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=0，|${\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}}$|=3，A∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，則求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值為（　　）

• A． 3
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得出 $\overrightarrow{AD}⊥\overrightarrow{BC}$，且AD平分∠BAC；所以△ABC是等腰三角形，AB=AC，再利用數(shù)量積的定義結(jié)合|${\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}}$|=3，平方得到${\overrightarrow{AB}}^{2}=\frac{9}{2（1+cosA）}$，結(jié)合A的范圍求最值．

解答 解：在△ABC中，（$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|}}$）•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=0，
∴（$\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}$+$\frac{{\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|}}$）•$\overrightarrow{CB}$=0，
∴如圖，$\overrightarrow{AD}⊥\overrightarrow{BC}$，且AD平分∠BAC；所以△ABC是等腰三角形，AB=AC，
又|${\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}}$|=3，所以|${\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}}$|²=9，展開得${\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AC}}^{2}+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=2{\overrightarrow{AB}}^{2}$+2${\overrightarrow{AB}}^{2}$cosA=9，所以${\overrightarrow{AB}}^{2}=\frac{9}{2（1+cosA）}$
又A∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$||cosA=${\overrightarrow{AB}}^{2}$cosA=$\frac{9cosA}{2（1+cosA）}$=$\frac{9}{\frac{2}{cosA}+2}$，所以當(dāng)A=$\frac{π}{3}$時(shí)，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值為$\frac{3}{2}$；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了數(shù)量積與基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．