Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC與BD的交點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，∠CAD=30°，AB=2，點(diǎn)N在線段PB上，且$\frac{PN}{NB}=\frac{1}{3}$．
（1）求證：BD⊥PC；
（2）求證：MN∥平面PDC．

Answer 1

分析 （1）證明BD⊥AC，PA⊥BD，得出BD⊥平面PAC，從而證明BD⊥PC；
（2）根據(jù)$\frac{DM}{MB}$=$\frac{PN}{NB}$，證明MN∥PD，即可證明MN∥平面PDC．

解答 解：（1）證明：因?yàn)椤鰽BC是正三角形，M是AC的中點(diǎn)，
所以BM⊥AC，即BD⊥AC，
又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，
BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD，
又PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC；
又PC?平面PAC，
所以BD⊥PC；
（2）證明：在正三角形ABC中，AB=2，BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{3}$；
由（1）知，在直角三角形AMD中，MD=AMtan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以$\frac{DM}{MB}$=$\frac{1}{3}$；
又因?yàn)?\frac{PN}{NB}$=$\frac{1}{3}$，
所以$\frac{DM}{MB}$=$\frac{PN}{NB}$，
∴MN∥PD；
因?yàn)镸N?平面PDC，PD?平面PDC，
所以MN∥平面PDC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)熟練地掌握空間值的平行與垂直關(guān)系的判斷與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題目．