Question

6．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．
（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）設AP=AB=1，$AD=\sqrt{3}$，求點P到平面AEC的距離．
（3）求二面角E-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD交AC與點O，連結(jié)EO，通過中位線定理及線面平行的判定定理可得結(jié)論；
（2）通過等體積轉(zhuǎn)化，利用三角形的面積公式計算即得結(jié)論；
（3）過E坐EM⊥AD垂足為M，過M作MN⊥AC，垂足為N，連接EN．則∠MNE為二面角E-AC-D的平面角，在Rt△MNE中計算即可．

解答 （1）證明：連結(jié)BD交AC與點O，連結(jié)EO，
∵底面ABCD為矩形∴O為BD的中點，
又∵E為PD的中點∴OE為△PBD的中位線，
則OE∥PB，
又OE?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥平面AEC；
（2）解：∵PB∥平面AEC，
∴P到平面AEC與B到平面AEC的距離相等，
∴V_P-AEC=V_B-AEC=V_E-ABC，
又S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且E到平面ABC的距離為$\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}$，
AC=2，EC=$\sqrt{C{D}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，AE=$\frac{1}{2}PD$=1，
∴由海倫公式可得S_△AEC=$\sqrt{\frac{1+\sqrt{2}+2}{2}（\frac{1+\sqrt{2}+2}{2}-1）（\frac{1+\sqrt{2}+2}{2}-\sqrt{2}）（\frac{1+\sqrt{2}+2}{2}-2）}$=$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，
設P到平面AEC的距離為h，
則$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{7}}}{4}×h=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{1}{2}$，可得h=$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
∴P到平面AEC的距離為$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$；
（3）解：過E坐EM⊥AD垂足為M，過M作MN⊥AC，垂足為N，連接EN．
易證∠MNE為二面角E-AC-D的平面角．
△ACD的邊AC上的高為$\frac{1×\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$MN=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∵$EM=\frac{1}{2}$，$EN=\sqrt{M{N^2}+E{M^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，
∴$cos∠MNE=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{4}}}{{\frac{{\sqrt{7}}}{4}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
所以二面角E-AC-B的余弦值為$-\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

點評 本題考查線面平行的判定定理，中位線定理，點到面的距離，海倫公式，勾股定理，二面角等知識，等體積的相互轉(zhuǎn)化是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于難題．