Question

16．已知函數f（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex-k有且只有一個零點，則k的值為（　�。�

• A． e+$\frac{1}{{e}^{2}}$
• B． e+$\frac{1}{e}$
• C． e²+$\frac{1}{e}$
• D． e²+$\frac{1}{{e}^{2}}$

Answer 1

分析 由題意求導f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-2x+2e=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$+2（e-x）；從而確定函數的單調性及取值情況，從而求k．

解答 解：∵f（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex-k，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-2x+2e
=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$+2（e-x）；
故當x∈（0，e）時，f′（x）＞0，
當x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，e）上是增函數，在（e，+∞）上是減函數；
且$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$f（x）→-∞，$\underset{lim}{x→+∞}$f（x）→-∞；
故若使函數f（x）=$\frac{lnx}{x}$-x²+2ex-k有且只有一個零點，
則f（e）=0，
即$\frac{1}{e}$-e²+2e²-k=0，
即k=$\frac{1}{e}$+e²，
故選：C．

點評 本題考查了導數的綜合應用及函數零點的判斷與應用，屬于中檔題．