Question

2．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且${S_n}=2-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}，n∈{N^*}$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列b_n=$\frac{n}{2}{a_n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用n=1時(shí)，a₁=S₁，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，計(jì)算即可得到所求通項(xiàng)；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{n}{2}{a_n}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：（Ⅰ）n=1時(shí)，a₁=S₁=1，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2-（$\frac{1}{2}$）^n-1-2+（$\frac{1}{2}$）^n-2=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
此式對(duì)于n=1也成立．則有a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列b_n=$\frac{n}{2}{a_n}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
前n項(xiàng)和T_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{4}$+3•$\frac{1}{8}$+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{4}$+2•$\frac{1}{8}$+3•$\frac{1}{16}$+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減可得，$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
化簡(jiǎn)可得前n項(xiàng)和T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．