Question

20．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是兩個(gè)單位向量，且|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$|（k＞0）．
（1）求$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角的范圍；
（2）當(dāng)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為30°時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量模長(zhǎng)關(guān)系，利用平方法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行求解即可．
（2）當(dāng)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為30°時(shí)，由（2）知k²-4kcos30°+1=0，解一元二次方程即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是兩個(gè)單位向量，且|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$|（k＞0）．
∴平方得|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=3|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$|²．
即k²|$\overrightarrow{a}$|²+2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+|$\overrightarrow$|²=3（|$\overrightarrow{a}$|²-2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+k²|$\overrightarrow$|²．
即k²+2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+1=3（1-2k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+k²），
即k²-4k$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+1=0，
則k²-4kcos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞+1=0，
即cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$=$\frac{1}{4}$（k+$\frac{1}{k}$）≥$\frac{1}{4}$×$2\sqrt{k•\frac{1}{k}}$=$\frac{1}{2}$，
則0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞≤$\frac{π}{3}$
即$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角的范圍是[0，$\frac{π}{3}$]．
（2）當(dāng)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為30°時(shí)，由（2）知k²-4kcos30°+1=0，
即k²-2$\sqrt{3}$k+1=0，
則k=$\frac{2\sqrt{3}±\sqrt{12-4}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}±2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{3}$±$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，利用向量模長(zhǎng)關(guān)系，利用平方法以及向量夾角公式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．