Question

13．某超市一營業(yè)柜臺(tái)銷售某種商品，每件商品的成本為4元，并且每件商品需向超市交a（1≤a≤3）元的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)誒吉安商品的售價(jià)為x（8≤x≤9）元時(shí)，一年的銷售量為（10-x）²萬件．
（1）求該營業(yè)柜臺(tái)一年的利潤L（萬元）與每件商品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式L（x）；
（2）當(dāng)每年商品的售價(jià)為多少元時(shí)，該營業(yè)柜臺(tái)一年的利潤L最大，并求出L的最大值M（a）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件即可建立該營業(yè)柜臺(tái)一年的利潤L（萬元）與每件商品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式L（x）；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由題意值該營業(yè)柜臺(tái)一年的利潤L（萬元）與每件商品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：
L（x）=（x-4-a）（10-x）²，x∈[8，9]．
（2）L′（x）=（10-x）²-2（x-4-a）（10-x）=（10-x）（18+2a-3x），
由L′（x）=0得，x=10（舍），或x=6+$\frac{2}{3}a$，
∵1≤a≤3，∴$\frac{20}{3}$≤=6+$\frac{2}{3}a$≤8，
即L（x）在x∈[8，9]上為減函數(shù)．
故L（x）_max=L（8）=（8-4-a）（10-8）²=16-4a，
即M（a）=16-4a，
即當(dāng)每年商品的售價(jià)為8元時(shí)，該營業(yè)柜臺(tái)一年的利潤L最大，最大值M（a）=16-4a．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．