Question

若拋物線y²=4x的焦點(diǎn)是F，準(zhǔn)線是l，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)F、M（4，4）且與l相切的圓共有

 

個(gè)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：根據(jù)拋物線的方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線的方程，設(shè)出所求圓的圓心，表示出半徑，則圓的方程可得，把M，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)代入整理求得h，和g，則圓的方程可求．

解答： 解：拋物線y²=4x的參數(shù)p=2，所以F（1，0），準(zhǔn)線l：x=-1，即x+1=0，
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（4，4）、F（1，0），且與直線l相切的圓的圓心為Q（a，b），
則半徑為Q到l的距離為即1+a，
∴圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=（1+a）²；
將M、F的坐標(biāo)代入，（4-a）²+（4-b）²=（1+a）²①，
（1-a）²+b²=（1+a）²②，
由①②得：b²-8b+1=10a，③b²=4a，④
由③④得：3b²+16b-2=0，
解得b₁=

70 -8

3

，b₂=

70 +8

3

．
將b₁，b₂分別代入④得：a₁=

67-8 70

18

，a₂=

67+8 70

18

．
故圓的個(gè)數(shù)為2個(gè)．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求圓的方程以及圓與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．