Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，右焦點(diǎn)為（$\sqrt{2}$，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過(guò)原點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，求證：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值；
（3）在（2）的條件下，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)焦點(diǎn)和離心率列方程解出a，b，c；
（2）對(duì)于AB有無(wú)斜率進(jìn)行討論，設(shè)出A，B坐標(biāo)和直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和距離公式計(jì)算；
（3）求出原點(diǎn)到直線AB的距離最大值即可．

解答 解：（1）∵c=$\sqrt{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴a=$\sqrt{3}$，
∵a²-b²=c²，∴b=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若直線斜率k存在，則設(shè)直線AB：y=kx+m．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{6km}{1+3{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}}\end{array}\right.$，
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
即x₁x₂+（k x₁+m） （k x₂+m）=（1+k²） x₁x₂+k m（x₁+x₂）=0．
∴4 m²=3 k²+3
∴原點(diǎn)到直線AB的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
若AB的斜率不存在時(shí)，|x₁|=|y₁|，可得|x₁|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
所以點(diǎn)O到直線AB的距離為定值$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（3）|AB|²=（1+k²）（x₁-x₂）²=（1+k²）[（$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$）²-4×$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$]
=$\frac{3（9{k}^{4}+10{k}^{2}+1）}{9{k}^{4}+6{k}^{2}+1}$=3+$\frac{12{k}^{2}}{9{k}^{4}+6{k}^{2}+1}$=3+$\frac{12}{9{k}^{2}+6+\frac{1}{{k}^{2}}}$≤4．
當(dāng)且僅當(dāng)9k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)等號(hào)成立．∴|AB|≤2．
當(dāng)斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)|AB|＜2．
所以S_△AOB≤$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
綜上：△OAB面積的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，分類討論思想，對(duì)于這類題目要掌握解題方法．設(shè)而不求，套用公式解決．