【題目】已知,函數(shù)
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)有兩個不同的零點,求實數(shù)的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,求證:
【答案】(1)在 是增函數(shù), 是減函數(shù);(2);(3)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)先求導(dǎo),再分類討論,分別令 可得增區(qū)間,令可得得減區(qū)間;(2)討論兩種情況,分別利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,以及結(jié)合函數(shù)的極值及簡圖即可求出的范圍;(3)由,只要證明: 就可以得出結(jié)論,構(gòu)造函數(shù): ,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可證明.
試題解析:(1)f(x)的定義域為(0,+∞),其導(dǎo)數(shù)f'(x)=﹣a.
①當(dāng)a≤0時,f'(x)>0,函數(shù)在(0,+∞)上是增函數(shù);
②當(dāng)a>0時,在區(qū)間(0,)上,f'(x)>0;在區(qū)間(,+∞)上,f'(x)<0.
∴f(x)在(0,)是增函數(shù),在(,+∞)是減函數(shù).
(2)由(1)知,當(dāng)a≤0時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),不可能有兩個零點,
當(dāng)a>0時,f(x)在(0,)上是增函數(shù),在(,+∞)上是減函數(shù),此時f()為函數(shù)f(x)的最大值,
當(dāng)f()≤0時,f(x)最多有一個零點,∴f()=ln>0,解得0<a<1,
此時,<,且f()=﹣1﹣+1=﹣<0,
f()=2﹣2lna﹣+1=3﹣2lna﹣(0<a<1),
令F(a)=3﹣2lna﹣,則F'(x)=﹣=>0,∴F(a)在(0,1)上單調(diào)遞增,∴F(a)<F(1)=3﹣e2<0,即f()<0,
∴a的取值范圍是(0,1).
(3)由(2)可知函數(shù)f(x)在(0,)是增函數(shù),在(,+∞)是減函數(shù).分析:∵0,∴.只要證明:f()>0就可以得出結(jié)論.
下面給出證明:構(gòu)造函數(shù):g(x)=f(﹣x)﹣f(x)=ln(﹣x)﹣a(﹣x)﹣(lnx﹣ax)(0<x≤),則g'(x)=+2a=,
函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,]上為減函數(shù).0<x1,則g(x1)>g()=0,又f(x1)=0,
于是f()=ln()﹣a()+1﹣f(x1)=g(x1)>0.又f(x2)=0,
由(1)可知,即.
【方法點晴】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、證明不等式,屬于難題.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的步驟:①確定函數(shù)的定義域;②對求導(dǎo);③令,在定義域內(nèi)解不等式得的范圍就是遞增區(qū)間;令,在定義域內(nèi)解不等式得的范圍就是遞減區(qū)間.
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【題目】向量 =(1,2), =(x,1),
(1)當(dāng) +2 與2 ﹣ 平行時,求x;
(2)當(dāng) +2 與2 ﹣ 垂直時,求x.
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【題目】函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0, )的圖象如圖所示,為了得到g(x)=2sin2x的圖象,則只需將f(x)的圖象( )
A.向右平移 個長度單位
B.向右平移 個長度單位
C.向左平移 個長度單位
D.向左平移 個長度單位
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點, 軸的正半軸為極軸,取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)當(dāng)時,求曲線上的點到直線的距離的最大值;
(2)若曲線上的所有點都在直線的下方,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),其中且,若, 在處切線的斜率為.
(1)求函數(shù)的解析式及其單調(diào)區(qū)間;
(2)若實數(shù)滿足,且對于任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;
(2)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;
(2)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1= 且an+1= .設(shè)bn+2=3 ,數(shù)列{cn}滿足cn=anbn .
(1)求數(shù)列{bn}通項公式;
(2)求數(shù)列{cn}的前n項和Sn;
(3)若cn≤ +m﹣1對一切正整數(shù)n恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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