Question

如圖，點P在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的對角線BD₁上，且cos∠PDA=

6

4

，則直線DP與CC₁所成角的大�。ā　。�

• A、75°
• B、60°
• C、45°
• D、30°

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：連結(jié)AP，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱長為1，由cos∠PDA=

6

4

，求出P（3-

6

，3-

6

，

6

-2），由此能求出直線DP與CC₁所成角的大�。�

解答： 解：連結(jié)AP，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱長為1，
則D₁（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0），
A（1，0，0），設(shè)P（a，b，c），

D1P

=λ

D1B

，0≤λ≤1，
∴（a，b，c-1）=（λ，λ，0），∴P（λ，λ，1-λ），

DA

=（1，0，0），

DP

=（λ，λ，1-λ），
∵cos∠PDA=

6

4

，
∴cos∠PDA=cos＜

DA

，

DP

＞
=

DA • DP

| DA |•| DP |

=

λ

3λ2-2λ+1

=

6

4

，
由0≤λ≤1，解得λ=3-

6

，
∴P（3-

6

，3-

6

，

6

-2），

DP

=（3-

6

，3-

6

，

6

-2），

CC1

=（0，0，1），
設(shè)直線DP與CC₁所成角為θ，
cosθ=|cos＜

DP

，

CC1

＞|=

| DP • CC1 |

| DP |•| CC1 |

=

6 -2

2 10-4 6

=

1

2

．
∴θ=60°，
∴直線DP與CC₁所成角的大小為60°．
故選：B．

點評：本題考查兩異面直線所成角的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．