Question

20．設(shè)關(guān)于x的方程9^x-3^x+1+6-15k=0在[0，2]內(nèi)有解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)t=3^x，將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，結(jié)合一元二次方程和一元二次函數(shù)的關(guān)系，構(gòu)造一元二次函數(shù)，求出一元二次函數(shù)的最值進(jìn)行求解即可．

解答 解：t=3^x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤9，
則方程等價(jià)為t²-3t+6-15k=0在[1，9]內(nèi)有解，
即t²-3t+6=15k在[1，9]內(nèi)有解，
設(shè)f（t）=t²-3t+6，則對(duì)稱軸為t=$\frac{3}{2}$，
∴函數(shù)的最小值為f（$\frac{3}{2}$）=（$\frac{3}{2}$）²-3×$\frac{3}{2}$+6=$\frac{15}{4}$，
函數(shù)的最大值為f（9）=9²-3×9+6=60，
即$\frac{15}{4}$≤f（t）≤60，
由$\frac{15}{4}$≤15k≤60，
得$\frac{1}{4}$≤k≤4，
即k的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合構(gòu)造法將條件轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．