18．如圖，把一塊邊長是a的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)作成一個無蓋方底的盒子，問切去的正方形邊長是多少時，才能使盒子的容積最大？

分析 設(shè)小正方形的邊長為x，可得盒子高h(yuǎn)=x，底邊長為a-2x，可得盒子容積V=x（a-2x）2，（0＜x＜$\frac{a}{2}$），再由三元基本不等式，a+b+c≥3$\root{3}{abc}$，即可得到所求最大值．

解答 解：設(shè)小正方形的邊長為x，
則盒子高h(yuǎn)=x，底邊長為a-2x，
得盒子容積V=x（a-2x）2，（0＜x＜$\frac{a}{2}$），
由V=$\frac{1}{4}$•4x•（a-2x）•（a-2x）≤$\frac{1}{4}$•（$\frac{4x+a-2x+a-2x}{3}$）3
=$\frac{1}{4}$•$\frac{8{a}^{3}}{27}$=$\frac{2{a}^{3}}{27}$，
當(dāng)且僅當(dāng)4x=a-2x，即x=$\frac{a}{6}$∈（0，$\frac{a}{2}$），取得最大值．
故切去的正方形邊長是$\frac{a}{6}$時，才能使盒子的容積最大．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)模型問題的解法，注意運(yùn)用三元基本不等式求得最值，設(shè)出自變量求得函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．已知拋物線y2=2px（p＞0）過定點(diǎn)A（1，1），B，C是拋物線上異于A的兩個動點(diǎn)，且AB⊥AC．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）求證：直線BC恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

9．已知拋物線C：y2=4x的交點(diǎn)為F，直線y=x-1與C相交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=2（a＞0，b＞0）的漸近線相交于M，N兩點(diǎn)，若線段AB與MN的中點(diǎn)相同，則雙曲線E的離心率為$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

6．已知某池塘養(yǎng)殖著鯉魚和鯽魚，為了估計(jì)這兩種魚的數(shù)量，養(yǎng)殖者從池塘中捕出這兩種魚各1 000條，給每條魚做上不影響其存活的標(biāo)記，然后放回池塘，待完全混合后，再每次從池塘中隨機(jī)地捕出1 000條魚，記錄下其中有記號的魚的數(shù)目，立即放回池塘中．這樣的記錄做了10次，并將記錄獲取的數(shù)據(jù)制作成如圖的莖葉圖．

（1）根據(jù)莖葉圖計(jì)算有記號的鯉魚和鯽魚數(shù)目的平均數(shù)，并估計(jì)池塘中的鯉魚和鯽魚的數(shù)量；
（2）為了估計(jì)池塘中魚的總重量，現(xiàn)按照（1）中的比例對100條魚進(jìn)行稱重，根據(jù)稱重魚的重量介于[0，4.5]（單位：千克）之間，將測量結(jié)果按如下方式分成九組：第一組[0，0.5），第二組[0.5，1），…，第九組[4，4.5]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．
①估汁池塘中魚的重量在3千克以上（含3千克）的條數(shù)；
②若第三組魚的條數(shù)比第二組多7條、第四組魚的條數(shù)也比第三組多7條，請將頻率分布直方圖補(bǔ)充完整；
③在②的條件下估計(jì)池塘中魚的重量的眾數(shù)及池塘中魚的總重量．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

13．雙曲線$\frac{x^2}{16}$-$\frac{y^2}{9}$=1的離心率為（　　）
A．$\frac{5}{4}$B．$\frac{{\sqrt{7}}}{4}$C．$\frac{3}{4}$D．$\frac{{\sqrt{7}}}{3}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

3．從裝有兩個白球、兩個黑球的袋中任意取出兩個球，取出一個白球一個黑球的概率為$\frac{2}{3}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

10．在△ABC中，AC=4，M為AC的中點(diǎn)，BM=3，則$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BA}$=5．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

7．過圓C：（x-1）2+（y-1）2=1的圓心，作直線分別交x軸、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，△AOB被圓分成四部分（如圖），若這四部分圖形的面積滿足S1+S4=S2+S3，則直線AB有（　�。�
A．1條B．2條C．3條D．0條

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

8．三棱錐O-ABC中，M，N分別是AB，OC的中點(diǎn)，且$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$表示$\overrightarrow{NM}$，則$\overrightarrow{NM}$等于（　　）
A．$\frac{1}{2}$（-$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）B．$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）C．$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）D．$\frac{1}{2}$（-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）

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