Question

11．已知函數f（x）=2sinx（cosx+sinx）-1
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及最大值；
（Ⅱ）若g（x）=f（x+φ），（-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）在x=$\frac{π}{3}$處取得最大值，求φ的值．

Answer 1

分析 （I）利用倍角公式化簡f（x）為一個角的三角函數，再根據正弦函數的最小正周期的定義即可求出周期，根據三角函數的性質即可求出最大值，
（II）可求得g（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+2φ-$\frac{π}{4}$），利用在x=$\frac{π}{3}$處取得最大值時，2×$\frac{π}{3}$+2φ-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈z，求出φ．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2sinx（cosx+sinx）-1=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，最大值為$\sqrt{2}$，
（Ⅱ）g（x）=f（x+φ），
∴g（x）=f（x+φ）=$\sqrt{2}$sin[2（x+φ）-$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$sin（2x+2φ-$\frac{π}{4}$），
∵g（x）在x=$\frac{π}{3}$處取得最大值，
∴2×$\frac{π}{3}$+2φ-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴φ=$\frac{π}{24}$+kπ，
∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{24}$．

點評 本題考查了倍角的正弦、余弦函數，考查了正弦函數的周期性，單調性及求法．利用三角公式化簡三角函數是解答本題的關鍵．