Question

16．已知$\overrightarrow{a}$=（sinx，sin（x-$\frac{π}{6}$）），$\overrightarrow$=（sinx，cos（x+$\frac{π}{3}$）），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（1）求f（x）的解析式及周期；
（2）求f（x）在x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積公式得出f（x），利用二倍角公式，誘導(dǎo)公式及兩角和差的三角函數(shù)化簡；
（2）根據(jù)x的范圍得出2x-$\frac{π}{6}$的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性得出f（x）的最值．

解答 解：（1）f（x）=sin²x+sin（x-$\frac{π}{6}$）cos（x+$\frac{π}{3}$）=sin²x-sin²（x$-\frac{π}{6}$）
=$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{1-cos（2x-\frac{π}{3}）}{2}$=$\frac{1}{2}$[cos（2x-$\frac{π}{3}$）-cos2x]
=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最小值$\frac{1}{2}×（-1）$=-$\frac{1}{2}$．
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$時(shí)，f（x）取得最大值$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴f（x）在x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]上的值域是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．