Question

2．網(wǎng)店為促銷，拿出A，B，C三件商品進(jìn)行搶拍．A，B，C被搶拍成功的概率分別是$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$．小明均參與了以上三件商品的搶拍．
（1）求至少有一件商品被小明搶拍成功的概率；
（2）記小明搶拍成功商品的件數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）至少有一件商品被小明搶拍成的對立事件為三件商品中沒有一件被搶拍成功，由概率公式三件商品中沒有一件被搶拍成功的概率為${P_1}=（1-\frac{1}{4}）×（1-\frac{1}{3}）×（1-\frac{2}{3}）=\frac{1}{6}$，由$P=1-{P_1}=\frac{5}{6}$；
（2）由題意可知：ξ的取值為0，1，2，3，根據(jù)概率公式求得P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）及P（ξ=3），列出其分布列求得數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）三件商品中沒有一件被搶拍成功的概率為${P_1}=（1-\frac{1}{4}）×（1-\frac{1}{3}）×（1-\frac{2}{3}）=\frac{1}{6}$，
∴三件商品中至少有一件被小明搶拍成功的概率為$P=1-{P_1}=\frac{5}{6}$．
（2）由題意可知：ξ=0，1，2，3，
則$P（ξ=0）=\frac{1}{6}$，
$P（ξ=1）=\frac{1}{4}×（1-\frac{1}{3}）×（1-\frac{2}{3}）+（1-\frac{1}{4}）×\frac{1}{3}×（1-\frac{2}{3}）+（1-\frac{1}{4}）×（1-\frac{1}{3}）×\frac{2}{3}=\frac{17}{36}$，
$P（ξ=2）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×（1-\frac{2}{3}）+（1-\frac{1}{4}）×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{1}{4}×（1-\frac{1}{3}）×\frac{2}{3}=\frac{11}{36}$，
$P（ξ=3）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{1}{18}$．
∴ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{17}{36}$	$\frac{11}{36}$	$\frac{1}{18}$

$Eξ=0×\frac{1}{6}+1×\frac{17}{36}+2×\frac{11}{36}+3×\frac{1}{18}=1.25$．

點評 本題考查離散型隨機變量及分布列，考查隨機變量的數(shù)學(xué)期望，考查對立事件的概率公式，屬于中檔題．