Question

已知函數f（x）=ax-

2a

x

-6lnx在x=2處取得極值．
（1）求實數a的值；
（2）g（x）=（x-3）e^x-m（e為自然對數的底數），若存在x₁∈（0，2），對任意x₂∈[2，3]，總有f（x₁）-g（x₂）≥0，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的極值

專題：導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）極值點處滿足兩條性質：①是函數值，因此坐標滿足解析式；②導數為零．
（2）易知，這是兩個函數的最值比較問題，只需f（x₁）_min≥f（x₂）_max，然后再分別求出該函數在（0，2）上的最小值，[2，3]上的最大值即可．最后解關于m的不等式（組）即可．

解答： 解：
（1）x∈（0，+∞）．f′(x)=a+

2a

x2

-

6

x

=

ax2-6x+2a

x2

，
∵函數f（x）=ax-

2a

x

-6lnx在x=2處取得極值
∴f'（2）=0，即 

a×22-6×2+2a

4

=0，解得a=2
所以a=2．
（2）由（1）知，f（x）=2x-

4

x

-6lnx，f′(x)=

2(x-1)(x-2)

x2

當x∈（0，1）時，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函數；
當x∈（1，2）時，f'（x）＜0，f（x）在（1，2）上減函數；
所以f（x）在（0，2）上的最大值為f（1）=-2．
因為g（x）=（x-3）e^x-m，所以g′（x）=（x-2）e^x≥0在[2，3]上恒成立
所以g（x）在[2，3]上單調遞增，其值域為[-e²-m，-m]
若存在x₁∈（0，2），對任意x₂∈[2，3]，總有f（x₁）-g（x₂）≥0成立
即f（x）_max≥g（x）_max，也就是-2≥-m，
即m≥2．

點評：這是一道典型的利用導數研究單調性，確定極值，求最值的問題，此類題要充分利用數形結合思想輔助分析、解決問題；而題目最終是將兩個函數的最值進行比較作為落腳點，考查了學生分析問題的能力，需要認真辨析才行；最后強調一點定義域優(yōu)先的原則．