Question

14．已知a＞0，b＞0，c＞0，函數(shù)f（x）=|x-a|+|x+b|+c的最小值為1．
（1）求a+b+c的值；
（2）求證：a²+b²+c²$≥\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)，注意等號成立的條件，即可求得最小值；（2）通過作差法證明即可．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴f（x）=|x-a|+|x+b|+c≥|x-a-x-b|+c=a+b+c，
當(dāng)且僅當(dāng)（x-a）（x-b）≤0時(shí)：“=”成立，
故a+b+c=1；
（2）3（a²+b²+c²）-1²
=3（a²+b²+c²）-（a+b+c）²
=2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac
=（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≥0，
∴a²+b²+c²$≥\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式、因式分解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．