Question

2．已知函數(shù)f（x）=|x-m|-|x-4|．
（1）若m=2，求關于x的不等式f（x）+|x-2|＜2的解集A；
（2）設集合C={x|-2＜x＜$\frac{10}{3}$}，函數(shù)f（x）的值域為B，且B⊆C，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將m=2代入f（x）的表達式，通過討論x的范圍，求出不等式的解集A即可；（2）通過討論m＞4，m=4，m＜4，得到f（x）的值域，解關于m的不等式組，求出m的范圍即可．

解答 解：（1）m=2時，f（x）+|x-2|＜2，即2|x-2|-|x-4＜2，
x≥4時，2（x-2）-（x-4）＜2，解得：x＜2，不合題意，舍，
2＜x＜4時，2（x-2）+（x-4）＜2，解得：2＜x＜$\frac{10}{3}$，
x≤2時，2（2-x）+（x-4）＜2，解得：-2＜x≤2，
綜上，-2＜x＜$\frac{10}{3}$，
故A=（-2，$\frac{10}{3}$）；
（2）f（x）=|x-m|-|x-4|，
m＞4時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4-m，x≥m}\\{-2x+m+4，4＜x＜m}\\{m-4，x≤4}\end{array}\right.$，
故m＞4時，B=[4-m，m-4]，
由集合C={x|-2＜x＜$\frac{10}{3}$}，函數(shù)f（x）的值域為B，且B⊆C，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4-m＞-2}\\{m-4＜\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，解得：4＜m＜6，
m=4時，f（x）=0，顯然B⊆C，符合題意，
m＜4時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4-m，x≥4}\\{2x-m-4，m＜x＜4}\\{m-4，x≤m}\end{array}\right.$，
故m＜4時，f（x）的值域B=[m-4，4-m]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-4＞-2}\\{4-m＜\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，解得：2＜m＜4，
綜上，2＜m＜6．

點評 不同考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．