Question

16．已知$|{\overrightarrow a}|=1$，$|{\overrightarrow b}|=\sqrt{3}$，
（1）若$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$的夾角為$\frac{π}{6}$，求$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$；
（2）求$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$及$|{\overrightarrow a•\overrightarrow b}|$的取值范圍；
（3）若$（\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=\frac{1}{2}$，求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角θ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式計(jì)算即可；（2）（3）根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{6}$，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=|$\overrightarrow a$|•|$\overrightarrow b$|•cos$\frac{π}{6}$=$\frac{3}{2}$，
∴|$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$|²=（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）²       
=$\overrightarrow a$²+$\overrightarrow b$²-2$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=1+3-3=1，
∴$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=1$；
（2）由$|{|{\overrightarrow a}|-|{\overrightarrow b}|}|≤|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|≤|{\overrightarrow a}|+|{\overrightarrow b}|$，
得$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|∈[\sqrt{3}-1，\sqrt{3}+1]$，
由$|{\overrightarrow a•\overrightarrow b}|≤|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|$，
得$|{\overrightarrow a•\overrightarrow b}|∈[0，\sqrt{3}]$；
（3）$（\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=\frac{1}{2}$，
∴$2{\overrightarrow a^2}-5\overrightarrow a•\overrightarrow b-3{\overrightarrow b^2}=\frac{1}{2}$，
又|$\overrightarrow a$|=1，|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\frac{3}{2}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵θ∈[0，π]，
∴$θ=\frac{5π}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．