Question

1．已知α為銳角，$f（α）=\frac{{sin（α-\frac{π}{2}）cos（\frac{3π}{2}+α）tan（π-α）}}{tan（-α-π）sin（-α-π）}$=$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，g（x）=sinx+cos（x-α）
（1）求g（x）的最小正周期、對(duì)稱中心．
（2）求函數(shù)在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值、最小值及相應(yīng)的x的值．

Answer 1

分析 （1）使用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)f（α），使用和角公式化簡(jiǎn)g（x）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得出答案．
（2）根據(jù)x的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)得出g（x）的最值．

解答 解：（1）$f（α）=\frac{-cosαsinα（-tanα）}{-tanαsinα}=-cosα$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又α是銳角，∴α=$\frac{π}{6}$．
∴g（x）=sinx+cos（x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{6}$）．
∴g（x）的最小正周期為T=2π．
由$x+\frac{π}{6}=kπ，k∈z$得對(duì)稱中心為$（kπ-\frac{π}{6}，0），（k∈Z）$，
（2）∵x∈$[0，\frac{π}{2}]$，∴x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]．
∴當(dāng)x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$ 即x=$\frac{π}{3}$時(shí)，g（x）的最大值為$\sqrt{3}$．
當(dāng)x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$即x=0時(shí)，g（x）的最小值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．