Question

7．已知點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜0）圖象上的任意兩點，且角φ的終邊經(jīng)過點P（1，-$\sqrt{3}$），若|f（x₁）-f（x₂）|=4時，|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{3}$
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若方程3[f（x）]²-f（x）+m=0在x∈（$\frac{π}{9}$，$\frac{4π}{9}$）內(nèi)有兩個不同的解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，先求tanφ=-$\sqrt{3}$，根據(jù)φ的范圍，可求φ的值，再求出函數(shù)的周期，再利用周期公式求出ω的值，從而可求函數(shù)解析式．
（2）由x∈（$\frac{π}{9}$，$\frac{4π}{9}$），可得0＜sin（3x-$\frac{π}{3}$）≤1．設f（x）=t，問題等價于方程3t²-t+m=0在（0，2）僅有一根或有兩個相等的根，作出曲線C：y=3t²-t，t∈（0，2）與直線l：y=-m的圖象，討論即可得解m的求值范圍．

解答 （本題滿分12分） 
解：（1）角φ的終邊經(jīng)過點P（1，-$\sqrt{3}$），tanφ=-$\sqrt{3}$，∵-$\frac{π}{2}$＜φ＜0，∴φ=-$\frac{π}{3}$．
由|f（x₁）-f（x₂）|=4時，|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{3}$，得T=$\frac{2π}{3}$，即$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$，∴ω=3．
∴f（x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）…（4分）
（2）∵x∈（$\frac{π}{9}$，$\frac{4π}{9}$），
∴3x-$\frac{π}{3}$∈（0，π），
∴0＜sin（3x-$\frac{π}{3}$）≤1．設f（x）=t，
問題等價于方程3t²-t+m=0在（0，2）僅有一根或有兩個相等的根．
∵-m=3t²-t，t∈（0，2）． 作出曲線C：y=3t²-t，t∈（0，2）與直線l：y=-m的圖象．
∵t=$\frac{1}{6}$時，y=-$\frac{1}{12}$；t=0時，y=0；t=2時，y=10．
∴當-m=-$\frac{1}{12}$或0≤-m＜10時，直線l與曲線C有且只有一個公共點．
∴m的取值范圍是：m=$\frac{1}{12}$或-10＜m≤0．…（12分）

點評 此題主要考查了周期公式的應用，考查了已知三角函數(shù)的定義域求出由三角函數(shù)與二次函數(shù)復合的函數(shù)的值域，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于中檔題．