Question

（1）已知tanα=2，求sin²α-3sinαcosα+1的值；
（2）求函數(shù)y=cos2x+sinx的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，把要求的式子化為

2tan2α-3tanα+1

tan2α+1

，再把tanα=2代入運(yùn)算可得結(jié)果．
（2）利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式為y=-2(sinx-

1

4

)2+

9

8

，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)y的最值，可得函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）∵tanα=2，
∴sin²α-3sinαcosα+1=2sin²α-3sinαcosα+cos²α 
=

2sin2α-3sinαcosα+cos2α

sin2α+cos2α

=

2tan2α-3tanα+1

tan2α+1

=

2×4-3×2+1

4+1

=

3

5

．
（2）函數(shù)y=cos2x+sinx=1-2sin²x+sinx=-2(sinx-

1

4

)2+

9

8

，
故當(dāng)sinx=

1

4

時(shí)，函數(shù)取得最大值為

9

8

，當(dāng)sinx=-1時(shí)，函數(shù)取得最小值為-2，
故函數(shù)的值域?yàn)閇-2，

9

8

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦函數(shù)的值域，二倍角的余弦公式，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．