Question

4．連接原點O和拋物線2y=x²上的動點M，延長OM到P點，使|OM|=|MP|，求P點的軌跡方程，并說明它是何曲線．

Answer 1

分析 可設(shè)M（x₀，y₀），P（x，y），根據(jù)|OM|=|MP|便知M為OP的中點，根據(jù)中點坐標(biāo)公式即可用x，y表示x₀，y₀，這樣帶入$2{y}_{0}={{x}_{0}}^{2}$即可得出點P的軌跡方程，從而可判斷方程所表示的曲線．

解答 解：如圖，
設(shè)M（x₀，y₀），P（x，y），則：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}={x}_{0}}\\{\frac{y}{2}={y}_{0}}\end{array}\right.$；
∵點M在拋物線上；
∴$2{y}_{0}={{x}_{0}}^{2}$；
∴$2•（\frac{y}{2}）=（\frac{x}{2}）^{2}$；
整理得x²=4y；
∴P點的軌跡為頂點在原點，焦點在y正半軸的拋物線．

點評 考查函數(shù)軌跡及軌跡方程的概念，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及動點軌跡方程的求解過程，中點坐標(biāo)公式．