Question

16．若關(guān)于x的方程sin²x-（2+a）sinx+2a=0，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）設(shè)t=sinx，利用三角函數(shù)線，求t的取值范圍；
（2）求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用單位圓，結(jié)合三角函數(shù)線進(jìn)行求解即可．
（2）討論x的取值，得出sinx的取值情況，設(shè)sinx=t，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（t）=t²-（2+a）t+2a在[-$\frac{1}{2}$，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)，和f（t）在[$\frac{1}{2}$，1]上有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)a的取值范圍．

解答 解：（1）由三角函數(shù)線得當(dāng)x=-$\frac{π}{6}$時(shí)，t=sinx取得最小值t=sin（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時(shí)，t=sinx取得最大值t=sin$\frac{π}{2}$=1，
則-$\frac{1}{2}$≤t≤1．
（2）：∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]時(shí)，
sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
x∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]時(shí)，sinx∈[$\frac{1}{2}$，1）；
設(shè)sinx=t，
則t²-（2+a）t+2a=0；
∴當(dāng)函數(shù)f（t）=t²-（2+a）t+2a在[-$\frac{1}{2}$，1]上有兩個(gè)零點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{1}{2}）≥0}\\{f（1）≥0}\\{△＞0}\\{-\frac{1}{2}＜\frac{2+a}{2}＜1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≥-\frac{1}{2}}\\{a≥1}\\{a≠2}\\{-3＜a＜0}\end{array}\right.$，
不等式的解集為∅；
當(dāng)函數(shù)f（t）=t²-（2+a）t+2a在[$\frac{1}{2}$，1]上有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，
f（$\frac{1}{2}$）•f（1）＜0，
解得$\frac{1}{2}$＜a＜1，滿足題意；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|$\frac{1}{2}$＜a＜1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的零點(diǎn)的問題，也考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，考查了轉(zhuǎn)化思想．