Question

2．在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=5，|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=4，則△ABC的面積的最大值為6．

Answer 1

分析 設(shè)A、B、C所對邊分別為a，b，c，由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=5，|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=4，得bccosA=5，a=4，結(jié)合余弦定理可得b²+c²，再由基本不等式可得bc最大值，即可求出△ABC面積的最大值

解答 解：設(shè)A、B、C所對邊分別為a，b，c，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=5，|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|=4，得bccosA=5，a=4①，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{1}{2}$bc$\sqrt{1-\frac{25}{^{2}{c}^{2}}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{^{2}{c}^{2}-25}$，
由余弦定理可得b²+c²-2bccosA=16②，
由①②消掉cosA得b²+c²=26，由b²+c²≥2bc，
所以bc≤13，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=6.5時(shí)取等號，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}\sqrt{^{2}{c}^{2}-25}$≤6，
故△ABC的面積的最大值為6；
故答案為：6．

點(diǎn)評 本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、三角形面積公式、基本不等式求最值等知識，綜合性較強(qiáng)．