Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=1-|2x-3|，g（x）=$\sqrt{x}$-$\sqrt{x-a}$．
（1）求不等式f（x）≥3x+1的解集；
（2）若0＜a＜b，M=g（a+b），N=g（b），求證：M＜N．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，解不等式，從而求出不等式的解集；（2）分別表示出M，N，結(jié)合a，b的范圍通過比較分母從而比較出M、N的大�。�

解答 解：（1）∵f（x）=1-|2x-3|，
∴1-|2x-3|≥3x+1，即|2x-3|≤-3x，
①x≤$\frac{3}{2}$時，-（2x-3）≤-3x，解得：x≤-3；
②x＞$\frac{3}{2}$時，（2x-3）≤-3x，解得：x＜$\frac{3}{5}$，舍，
故不等式f（x）≥3x+1的解集是：{x|x≤-3}；
（2）M=g（a+b）=$\sqrt{a+b}$-$\sqrt$=$\frac{a}{\sqrt{a+b}+\sqrt}$，
N=g（b）=$\sqrt$-$\sqrt{b-a}$=$\frac{a}{\sqrt+\sqrt{b-a}}$，
比較分母，易得：$\sqrt{a+b}$＞$\sqrt{b-a}$，
∴M＜N．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查比較大小的方法，本題屬于中檔題．