Question

14．設(shè)A、B是拋物線y²=2px（p＞0）上的兩點，O是坐標(biāo)原點，已知OA⊥OB，OD⊥AB于D，點D的坐標(biāo)為（1，3），則p=（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 利用OD⊥AB，可求直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合OA⊥OB，利用向量的數(shù)量積公式，即可求出p的值．

解答 解：∵OD⊥AB，∴k_OD•k_AB=-1．
又k_OD=3，∴k_AB=-$\frac{1}{3}$，
∴直線AB的方程為y-3=-$\frac{1}{3}$（x-1），
即為y=-$\frac{1}{3}x$+$\frac{10}{3}$，
設(shè)A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=0，
又x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（-$\frac{1}{3}$x₁+$\frac{10}{3}$）（-$\frac{1}{3}$x₂+$\frac{10}{3}$）
=$\frac{10}{9}$x₁x₂-$\frac{10}{9}$（x₁+x₂）+$\frac{100}{9}$，
聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消y可得$\frac{1}{9}$x²-（$\frac{20}{9}$+2p）x+$\frac{100}{9}$=0①
∴x₁+x₂=20+18p，x₁x₂=100，
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{10}{9}$×100-$\frac{10}{9}$×（20+18p）+$\frac{100}{9}$=0，
∴p=5，
當(dāng)p=5時，方程①成為x²-110x+100=0顯然此方程有解．
∴p=5成立．
故選：D．

點評 本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，正確運用韋達(dá)定理和向量垂直的條件是關(guān)鍵．