Question

20．已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）圖象的一條對稱軸為x=$\frac{π}{12}$，則要得到函數(shù)F（x）=f′（x）-f（x+$\frac{π}{12}$）的圖象，只需把函數(shù)f（x）的圖象（　�。�

• A． 向左平移$\frac{π}{6}$個單位，縱坐標伸長為原來的$\sqrt{3}$倍
• B． 向右平移$\frac{π}{6}$個單位，縱坐標伸長為原來的$\sqrt{3}$倍
• C． 向左平移$\frac{π}{3}$個單位，縱坐標伸長為原來的$\sqrt{3}$倍
• D． 向右平移$\frac{π}{3}$個單位，縱坐標伸長為原來的$\sqrt{3}$倍

Answer 1

分析 由題意根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結論．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）圖象的一條對稱軸為x=$\frac{π}{12}$，
可得2×$\frac{π}{12}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得φ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z．
再結合0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得φ=$\frac{π}{3}$，f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），∴f′（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），
∴F（x）=f′（x）-f（x+$\frac{π}{12}$）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）-sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2xcos$\frac{π}{3}$-2sin2xsin$\frac{π}{3}$-cos2x=-$\sqrt{3}$sin2x．
故把函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，可得y=sin[2（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=-sin2x的圖象；
再把所得圖象的縱坐標伸長為原來的$\sqrt{3}$倍，可得F（x）=-$\sqrt{3}$sin2x的圖象，
故選：C．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題．