Question

16．如圖，類似于中國(guó)結(jié)的一種刺繡圖案，這些圖案由小正方形構(gòu)成，其數(shù)目越多，圖案越美麗，若按照前4個(gè)圖中小正方形的擺放規(guī)律，設(shè)第n個(gè)圖案所包含的小正方形個(gè)數(shù)記為f（n）．
（1）利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f（n+1）與f（n）的關(guān)系，并通過你所得到的關(guān)系式，求出f（n）的表達(dá)式；
（2）計(jì)算：$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$，$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$，$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+$\frac{1}{f（4）-1}$的值，猜想$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$的結(jié)果，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）計(jì)算f（2）-f（1），f（3）-f（2），f（4）-f（3），根據(jù)規(guī)律猜想f（n+1）與f（n）的關(guān)系；使用累加法求出f（n）；
（2）根據(jù)n=2，3，4的計(jì)算結(jié)果猜測(cè)$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$，從n=2時(shí)驗(yàn)證猜想是否成立，假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，利用f（n）的表達(dá)式推導(dǎo)n=k+1時(shí)的結(jié)果，判斷是否符合猜想，得出結(jié)論．

解答 解：（1）由圖案可知f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25，
∴f（2）-f（1）=4，f（3）-f（2）=8，f（4）-f（3）=12，
歸納猜想：f（n+1）=f（n）+4n，
由猜想得：f（n）-f（n-1）=4（n-1），
f（n-1）-f（n-2）=4（n-2），
f（n-2）-f（n-3）=4（n-3），
…
f（2）-f（1）=4×1，
將以上各式相加得：f（n）-f（1）=4（n-1）+4（n-2）+4（n-3）+…+4×1
=4[1+2+3+…+（n-1）]
=4×$\frac{n（n-1）}{2}$=2n²-2n，
∴f（n）=2n²-2n+1．
（2）$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$=1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$=1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$=$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+$\frac{1}{f（4）-1}$=$\frac{11}{8}$．
猜想：$\frac{1}{f（1）}+\frac{1}{f（2）-1}+\frac{1}{f（3）-1}+$…$+\frac{1}{f（n）-1}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2n}$，
證明：①n=2時(shí)，$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$=$\frac{5}{4}$，$\frac{3}{2}-\frac{1}{2n}$=$\frac{5}{4}$，故n=2時(shí)，猜想成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，猜想成立，即$\frac{1}{f（1）}+\frac{1}{f（2）-1}+\frac{1}{f（3）-1}+$…$\frac{1}{f（k）-1}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2k}$．
則n=k+1時(shí)，$\frac{1}{f（1）}+\frac{1}{f（2）-1}+\frac{1}{f（3）-1}+$…$\frac{1}{f（k+1）-1}$=$\frac{1}{f（1）}+\frac{1}{f（2）-1}+\frac{1}{f（3）-1}+$…$\frac{1}{f（k）-1}$+$\frac{1}{f（k+1）-1}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2k}$+$\frac{1}{f（k+1）-1}$=$\frac{3}{2}-\frac{1}{2k}$-$\frac{1}{2（k+1）^{2}-2（k+1）}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$+$\frac{1}{{k}^{2}+k}$）=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2（k+1）}$．
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立．
由①②可知，對(duì)任意n∈N^*，n≥2，都有$\frac{1}{f（1）}+\frac{1}{f（2）-1}+\frac{1}{f（3）-1}+$…$+\frac{1}{f（n）-1}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了歸納推理，數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于中檔題．