Question

15．y=（sinx-1）²+2的值域?yàn)閇2，6]，當(dāng)y取最大值時(shí)，x=2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z）；當(dāng)y取最小值時(shí)，x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），周期為2π，單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]（k∈Z）；單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）．

Answer 1

分析 本題主要是單調(diào)性的分析：
①當(dāng)x∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）時(shí)，sinx-1單調(diào)遞增，但（sinx-1）²單調(diào)遞減，所以原函數(shù)單調(diào)遞減，
②當(dāng)x∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]（k∈Z）時(shí)，sinx-1單調(diào)遞減，但（sinx-1）²單調(diào)遞增，所以原函數(shù)單調(diào)遞增．

解答 解：對(duì)于函數(shù)y=（sinx-1）²+2，
當(dāng)sinx=1時(shí)，函數(shù)取得最小值2，此時(shí)x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）；
當(dāng)sinx=-1時(shí)，函數(shù)取得最大值6，此時(shí)x=2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z）；
所以該函數(shù)的值域?yàn)閇2，6]，且函數(shù)的最小正周期為2π，
單調(diào)性討論如下：
①當(dāng)x∈[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）時(shí)，sinx-1單調(diào)遞增，
  但（sinx-1）²單調(diào)遞減，所以原函數(shù)單調(diào)遞減，
②當(dāng)x∈[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]（k∈Z）時(shí)，sinx-1單調(diào)遞減，
  但（sinx-1）²單調(diào)遞增，所以原函數(shù)單調(diào)遞增．
故這六空分別填：
[2，6]；2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z）；2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）；2π；
[2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{3π}{2}$]（k∈Z）；[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間，最值，最小正周期，以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．