Question

3．已知函數(shù)$f（x）=2\sqrt{2}cosxsin（x+\frac{π}{4}）$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件利用三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、以及圖象的對(duì)稱(chēng)性，得出結(jié)論．
（Ⅱ）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）對(duì)于函數(shù)$f（x）=2\sqrt{2}cosxsin（x+\frac{π}{4}）$=2$\sqrt{2}$cosx•（sinx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$+cosx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
=sin2x+2•cos²x=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，
令2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，可得函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
（Ⅱ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，
可得函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．
2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，
可得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性以及圖象的對(duì)稱(chēng)性，屬于中檔題．