Question

11．已知a＞-2，若圓O₁：x²+y²+2x-2ay-8a-15=0，圓O₂：x²+y²+2ax-2ay+a²-4a-4=0恒有公共點(diǎn)，則a的取值范圍為（　　）

• A． （-2，-1]∪[3，+∞）
• B． $（-\frac{5}{3}，-1）∪（3，+∞）$
• C． $[-\frac{5}{3}，-1]∪[3，+∞）$
• D． （-2，-1）∪（3，+∞）

Answer 1

分析 求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，根據(jù)兩圓相交的條件進(jìn)行求解即可．

解答 解：圓O₁：x²+y²+2x-2ay-8a-15=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）²+（y-a）²=a²+8a+16，
圓心O₁（-1，a），半徑R=$\sqrt{{a}^{2}+8a+16}$=|a+4|=a+4，
圓O₂：x²+y²+2ax-2ay+a²-4a-4=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+a）²+（y-a）²=a²+4a+4，
圓心O₂（-a，a），半徑R=$\sqrt{{a}^{2}+4a+4}$=|a+2|=a+2，
則圓心距離|O₁O₂|=|-a+1|=|a-1|，
若兩圓恒有公共點(diǎn)，則兩圓相交或相切，
即a+4-（a+2）≤|O₁O₂|≤a+2+a+4，
即2≤|a-1|≤2a+6，
若a≥1，則不等式等價(jià)為2≤a-1≤2a+6，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a-1≥2}\\{a-1≤2a+6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a≥3}\\{a≥-7}\end{array}\right.$得a≥3，
若-2＜a＜1，
則不等式等價(jià)為2≤1-a≤2a+6，
即$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜1}\\{1-a≥2}\\{1-a≤2a+6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜1}\\{a≤-1}\\{a≥-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，得-$\frac{5}{3}$≤a≤-1，
綜上-$\frac{5}{3}$≤a≤-1或a≥3，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，求出圓心坐標(biāo)和半徑，利用圓與圓相交的等價(jià)條件建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．