Question

10．（1）已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x²+mx+n=0，若1+$\sqrt{2}$i是方程x²+mx+n=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求出m、n的值．
（2）已知z∈C，z+3i，$\frac{z}{3-i}$均為實(shí)數(shù)，且復(fù)數(shù)（z+ai）²在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用1+$\sqrt{2}$i是方程x²+mx+n=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，代入方程，利用復(fù)數(shù)相等得到關(guān)于m，n的方程組解之；
（2）化簡(jiǎn)z+3i，$\frac{z}{3-i}$，利用都是實(shí)數(shù)，求出z的實(shí)部、虛部，然后由復(fù)數(shù)（z+ai）²在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，得到關(guān)于a的不等式組求a．

解答 解：（1）因?yàn)?+$\sqrt{2}$i是方程x²+mx+n=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，
所以（1+$\sqrt{2}$i）²+m（1+$\sqrt{2}$i）+n=0，即-1+m+n+2$\sqrt{2}$i+$\sqrt{2}$mi=0，
所以$\left\{\begin{array}{l}{-1+m+n=0}\\{2\sqrt{2}+\sqrt{2}m=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-2}\\{n=3}\end{array}\right.$，（5分）
（2）設(shè)z=x+yi，（x，y是實(shí)數(shù)）
z+3i為實(shí)數(shù)，即x+（3+y）i為實(shí)數(shù)，所以y=-3；
$\frac{z}{3-i}$=$\frac{x-3i}{3-i}=\frac{（x-3i）（3+i）}{（3-i）（3+i）}=\frac{3x+3+（x-9）i}{10}$為實(shí)數(shù)，所以x=9，所以z=9-3i，
因?yàn)閺?fù)數(shù)（z+ai）²=（9-3i+ai）²=81-（a-3）²+18（a-3）i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，
所以$\left\{\begin{array}{l}{81-（a-3）^{2}＞0}\\{18（a-3）＞0}\end{array}\right.$，解得3＜a＜12…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的基本概念和運(yùn)算；考查學(xué)生的運(yùn)算能力；屬于基礎(chǔ)題．