Question

5．已知公差大于零的等差數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，且滿足：a₂•a₄=65，a₁+a₅=18．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若1＜i＜21，a₁，a_i，a₂₁是正項等比數(shù)列{b_n}的第1、3、5項，求i值及數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（3）是否存在常數(shù)k，使得數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}+kn}$}為等差數(shù)列，若存在，求出常數(shù)k；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到a₂+a₄=18，利用韋達定理得到a₂，a₄二次方程的兩個根，求出兩個根，利用等差數(shù)列的通項列出方程組，求出首項與公差，求出通項．
（2）利用（1）中求出的通項求出a₁，a_i，a₂₁，根據(jù)它們成等比數(shù)列；列出方程求出i的值，可求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（3）利用等差數(shù)列的前n項和公式求出S_n，假設(shè)存在k，使數(shù)列為等差數(shù)列，求出數(shù)列的前三項，前三項成等比數(shù)列，列出方程求出k的值．

解答 解：（1）{a_n}為等差數(shù)列，
∴a₁+a₅=a₂+a₄=18，
又a₂•a₄=65，∴a₂，a₄是方程x²-18x+65=0的兩個根，
又公差d＞0，∴a₂＜a₄，∴a₂=5，a₄=13．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=5}\\{{a}_{1}+3d=13}\end{array}\right.$，∴a₁=1，d=4，
∴a_n=4n-3．（5分）
（2）由1＜i＜21，a₁，a_i，a₂₁是某等比數(shù)列的連續(xù)三項，∴a₁•a₂₁=a_i²，
即1×81=（4i-3）²，
解得i=3．
∴b₁=1，b₃=9，
∴T_n=$\frac{1-{9}^{n}}{1-9}$=$\frac{1}{8}$（9ⁿ-1）；
（3）由（1）知，S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}×4$=2n²-n，
假設(shè)存在常數(shù)k，使數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}+kn}$}為等差數(shù)列，
由$\sqrt{{S}_{1}+k}+\sqrt{{S}_{3}+3k}$=2$\sqrt{{S}_{2}+2k}$，
得$\sqrt{1+k}+\sqrt{15+3k}=2\sqrt{6+2k}$，
解得k=1．
∴$\sqrt{{S}_{n}+kn}$=$\sqrt{2}$n，
此時有$\sqrt{2}$n-$\sqrt{2}$（n-1）=$\sqrt{2}$，數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}+kn}$}為等差數(shù)列．
∴存在常數(shù)k使得數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}+kn}$}為等差數(shù)列．

點評 解決等差數(shù)列、等比數(shù)列問題時，常利用首項、公差、公比圍繞通項公式及前n項和公式，列方程解；解決是否存在這種開放型的題目，一般假設(shè)存在去求，求出即存在．