Question

10．如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，點(diǎn)B₁在底面內(nèi)的射影恰好是BC的中點(diǎn)，且BC=CA=2，
（1）求證：平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）若AA₁=2，求點(diǎn)B到平面B₁CA的距離．

Answer 1

分析 （1）取BC中點(diǎn)M，連接B₁M，則B₁M⊥面ABC，從而面BB₁C₁C⊥面ABC，進(jìn)一步可得AC⊥面BB₁C₁C，從而可證面ACC₁A₁⊥面BCC₁B₁；
（2）利用等體積，可求點(diǎn)B到平面B₁CA的距離．

解答 （1）證明：取BC中點(diǎn)M，連接B₁M，則
∵B₁在底面內(nèi)的射影恰好是BC的中點(diǎn)
∴B₁M⊥面ABC，
∵B₁M?面BB₁C₁C
∴面BB₁C₁C⊥面ABC
∵BC=面BB₁C₁C∩面ABC，AC⊥BC
∴AC⊥面BB₁C₁C
∵AC?面ACC₁A₁
∴面ACC₁A₁⊥面BCC₁B₁
（2）解：設(shè)點(diǎn)B到平面B₁CA的距離為h，
∵點(diǎn)B₁在底面內(nèi)的射影恰好是BC的中點(diǎn)，且BC=CA=2，AA₁=2，
∴B₁B=B₁C=2，B₁M=$\sqrt{3}$，B₁A=$2\sqrt{2}$，
∴${S}_{△{B}_{1}CA}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{4-2}$=2
∴由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{3}=\frac{1}{3}×2h$
∴h=$\sqrt{3}$
即點(diǎn)B到平面B₁CA的距離為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直，考查點(diǎn)到面的距離，解題的關(guān)鍵是掌握線面、面面垂直的判定與性質(zhì)，正確運(yùn)用三棱錐的體積公式．