Question

20．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，右頂點為A，點M（a，b）滿足MF₂平分∠F₁MA那么橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），A（a，0），M（a，b），由MF₂平分∠F₁MA，則$\frac{|{F}_{1}{F}_{2}|}{|A{F}_{2}|}$=$\frac{|M{F}_{1}|}{|MA|}$，得到a，b，c的方程，化簡整理再由離心率公式，計算即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
A（a，0），M（a，b），
由MF₂平分∠F₁MA，則$\frac{|{F}_{1}{F}_{2}|}{|A{F}_{2}|}$=$\frac{|M{F}_{1}|}{|MA|}$，
即為$\frac{2c}{a-c}$=$\frac{\sqrt{（a+c）^{2}+^{2}}}$，
即有4c²b²=（a²-c²）²+（a-c）²b²，
即4c²=（a²-c²）+（a-c）²，
即有2c²+ac-a²=0，
由離心率e=$\frac{c}{a}$，可得
2e²+e-1=0，
解得e=$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查離心率的求法，注意運用角平分線的性質(zhì)定理和方程的思想時解題的關(guān)鍵．