Question

20．已知過點M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）的橢圓C的中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸，若這個橢圓的一個焦點為F（-1，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點F（-1，0）、傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l交橢圓C于兩點，求這兩點間的距離．

Answer 1

分析 （1）設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得c=1，代入點M，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）運用點斜式方程可得直線l的方程，代入橢圓方程，求得交點，由兩點的距離公式，計算即可得到所求值．

解答 解：（1）設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得c=1，a²-b²=1，
又$\frac{1}{2{a}^{2}}$+$\frac{3}{4^{2}}$=1，
解方程可得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）由題意可得直線l的方程為y=x+1，
代入橢圓方程，可得3x²+4x=0，
解得x=0或-$\frac{4}{3}$，
即有交點為（0，1），（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{1}{3}$），
則交點間的距離為$\sqrt{（0+\frac{4}{3}）^{2}+（1+\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，考查點在橢圓上滿足橢圓方程，同時考查直線和橢圓相交，運用兩點的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．