Question

5．如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為1，C B′∩BC′=O，求：
（1）AO與A′C′所成角的度數(shù)；
（2）AO與平面ABCD所成角的正切值；
（3）證明平面AOB與平面AOC垂直．

Answer 1

分析 （1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用和量法能求出AO與A′C′所成角的大�。�
（2）求出$\overrightarrow{AO}$和面ABCD的法向量，利用向量法能求出AO與平面ABCD所成角的正切值．
（3）求出平面AOB的法向量和平面AOC的法向量，利用向量法能證明平面AOB與平面AOC垂直．

解答 解：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（1，0，0），O（$\frac{1}{2}，1，\frac{1}{2}$），A‘（1，0，1），C′（0，1，1），
$\overrightarrow{AO}$=（-$\frac{1}{2}$，1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{{A}^{'}{C}^{'}}$=（-1，1，0），
設(shè)AO與A′C′所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{{A}^{'}{C}^{'}}|}{|\overrightarrow{AO}|•|\overrightarrow{{A}^{'}{C}^{'}}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{\frac{3}{2}}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=30°，
∴AO與A′C′所成角為30°．
（2）∵$\overrightarrow{AO}$=（-$\frac{1}{2}，1，\frac{1}{2}$），面ABCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
設(shè)AO與平面ABCD所成角為α，
則sinα=|cos＜$\overrightarrow{AO}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AO}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
cosα=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}}{6}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$，
∴tanα=$\frac{\frac{\sqrt{30}}{6}}{\frac{\sqrt{6}}{6}}$=$\sqrt{5}$．
∴AO與平面ABCD所成角的正切值為$\sqrt{5}$．
證明：（3）C（0，1，0），$\overrightarrow{AO}$=（-$\frac{1}{2}，1，\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AB}$=（0，1，0），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），
設(shè)平面AOB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AO}=-\frac{1}{2}x+y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
設(shè)平面AOC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AO}=-\frac{1}{2}a+b+\frac{1}{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=-a+b=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，-1），
∵$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}$=1+0-1=0，
∴平面AOB與平面AOC垂直．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的大小和線面角的正切的求法，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．