Question

15．函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若對(duì)于任意x₁，x₂∈D，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，都有f（x₁）≤f（x₂），則稱(chēng)函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù)．設(shè)函數(shù)f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿(mǎn)足以下三個(gè)條件：①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1；③f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x）．則f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{5}{12}$）的值（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由已知條件求出f（1）、f（ $\frac{1}{2}$）、f（ $\frac{1}{3}$）、f（ $\frac{1}{9}$）、f（ $\frac{1}{6}$）的值，利用當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，都有f（x₁）≤f（x₂），通過(guò) $\frac{1}{9}$＜$\frac{5}{36}$＜$\frac{1}{6}$，有f（ $\frac{1}{9}$）≤f（ $\frac{5}{36}$）≤f（ $\frac{1}{6}$），而f（ $\frac{1}{9}$）=$\frac{1}{4}$=f（ $\frac{1}{6}$），有 f（ $\frac{5}{36}$）=$\frac{1}{4}$，結(jié)果可求．

解答 解：∵函數(shù)f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1，
∴f（1）=1，
令x=$\frac{1}{2}$，所以有f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
又∵③f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x），∴f（x）=2f（$\frac{x}{3}$），f（$\frac{5}{12}$）=2f（$\frac{5}{36}$）
f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x），令x=1，有f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{2}$，
令x=$\frac{1}{3}$，有f（$\frac{1}{9}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{4}$，f（$\frac{1}{6}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
非減函數(shù)性質(zhì)：當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，都有f（x₁）≤f（x₂），
∴$\frac{1}{9}$＜$\frac{5}{36}$＜$\frac{1}{6}$，有f（$\frac{1}{9}$）≤f（$\frac{5}{36}$）≤f（$\frac{1}{6}$），
而f（$\frac{1}{9}$）=$\frac{1}{4}$=f（$\frac{1}{6}$），所以有 f（$\frac{5}{36}$）=$\frac{1}{4}$，
則f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{5}{12}$）=$\frac{1}{2}$+2f（$\frac{5}{36}$）=$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{4}$=1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，充分利用題意中非減函數(shù)性質(zhì)．