Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．

（Ⅰ）若E為AD的中點(diǎn)，試在線段CD上找一點(diǎn)F，使 EF∥平面ABC，并加以證明；
（Ⅱ）求證：BC⊥平面ACD；
（Ⅲ）求幾何體A-BCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取DC的中點(diǎn)F，則F就是要確定的點(diǎn)，（2）由勾股定理證明BC⊥AC；（3）V_A-BCD=V_B-ACD

解答： 解：（Ⅰ）取DC的中點(diǎn)F，則F就是要確定的點(diǎn)，證明如下：
∵E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)，
∴EF∥AC，又EF在平面ABC外，AC在平面ABC內(nèi)，
∴EF∥平面ABC．
（Ⅱ）證明：∵在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．
∴AC=

22+22

=2

2

，BC=

22+(4-2)2

=2

2

，
∴AC²+BC²=16=AB²；
∴BC⊥AC，又∵平面ADC⊥平面ABC，
∴BC⊥平面ACD；
（Ⅲ）V_A-BCD=V_B-ACD=

1

3

×(

1

2

×2×2)×2

2

=

4 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生的空間想象力及作圖能力，線面平行的判定定理及勾股定理．屬于中檔題．