【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）若在處取極值，求在點處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時，若有唯一的零點，求證：

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性、極值中的應(yīng)用。（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)在處取極值可得，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程即可。（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，令，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值可得在上有唯一零點，設(shè)為，證明即可得結(jié)論。

試題解析：

（Ⅰ）∵，

，

∵在處取極值，

∴，解得.

,

,

又.

∴在點處的切線方程為,

即

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，

令，

則

由，可得

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

又，故當(dāng)時， ；

又，故在上有唯一零點，設(shè)為，

從而可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

因為有唯一零點，

故且

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知橢圓（）的左、右焦點分別為、，設(shè)點，在中， ，周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)不經(jīng)過點的直線與橢圓相交于、兩點，若直線與的斜率之和為，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)；

（3）記第（2）問所求的定點為，點為橢圓上的一個動點，試根據(jù)面積的不同取值范圍，討論存在的個數(shù)，并說明理由.

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【題目】【選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)， 為直線的傾斜角). 以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系. 圓C的極坐標(biāo)方程為，設(shè)直線l與圓C交于兩點．

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【題目】如圖，已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的一個焦點為， 是橢圓上的一個點．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)橢圓的上、下頂點分別為， （）是橢圓上異于的任意一點， 軸， 為垂足， 為線段中點，直線交直線于點, 為線段的中點，如果的面積為，求的值．

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（1）若為真，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)集合與集合的交集為，若為假， 為真，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】（本小題滿分13分）已知數(shù)列的前項和為, ，且是與的等差中項．

（Ⅰ）求的通項公式；

（Ⅱ）若數(shù)列的前項和為,且對,恒成立,求實數(shù)的最小值．

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【題目】【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

在平面直角坐標(biāo)系，已知曲線（為參數(shù)），在以原點為極點， 軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為。

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

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【題目】已知橢圓的兩個焦點和短軸的兩個頂點構(gòu)成的四邊形是一個正方形,且其周長為.

（Ⅰ）求橢圓的方程;

（Ⅱ）設(shè)過點的直線與橢圓相交于兩點,點關(guān)于原點的對稱點為,若點總在以線段為直徑的圓內(nèi),求的取值范圍.

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