Question

1．已知圓C的圓心與點(diǎn)P（0，1）關(guān)于直線y=x+1對稱，直線3x+4y+1=0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=4．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線l：mx-y+1-m=0（m∈R）與圓C的交點(diǎn)為E、F，求弦EF的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）要求圓C的方程，先求圓心，設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)圓心與P關(guān)于直線y=x+1對稱得到直線PC垂直與y=x+1且PC的中點(diǎn)在直線y=x+1上分別列出方程①②，聯(lián)立求出a和b即可；再求半徑，根據(jù)垂徑定理得到直角三角形，根據(jù)勾股定理求出半徑．寫出圓的方程即可．
（2）分類討論，利用CM⊥MP，可求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)C（a，b），根據(jù)圓心與P關(guān)于直線y=x+1對稱得到直線CP與y=x+1垂直，
而y=x+1的斜率為1，所以直線CP的斜率為-1即$\frac{b-1}{a}$=-1化簡得a+b-1=0①，
再根據(jù)CP的中點(diǎn)在直線y=x+1上得到$\frac{1+b}{2}$=$\frac{a}{2}$+1化簡得a-b+1=0②
聯(lián)立①②得到a=0，b=1，所以圓心的坐標(biāo)為（0，1）；
圓心C到直線AB的距離d=$\frac{5}{\sqrt{9+16}}$=1，所以根據(jù)勾股定理得到半徑r=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
所以圓的方程為x²+（y-1）²=5．
（2）解：當(dāng)M不與P重合時，連接CM、CP，則CM⊥MP，
設(shè)M（x，y），則x²+（y-1）²+（x-1）²+（y-1）²=1，化簡得：x²+y²-x-2y+1=0；
當(dāng)M與P重合時，滿足上式．

點(diǎn)評 此題是一道綜合題，要求學(xué)生會求一個點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，靈活運(yùn)用垂徑定理及點(diǎn)到直線的距離公式解決數(shù)學(xué)問題．會根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程．