Question

8．已知二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=0，且f（x+1）-f（x）=-2x+1．
（1）求二次函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若不等式mf（x）＞（m-1）（2x-1）對(duì)m∈[-2，2]恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（3）是否存在這樣的正數(shù)a、b，當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f（x）的值域?yàn)?[\frac{1}，\frac{1}{a}]$，若存在，求出所有的正數(shù)a，b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（0）=0便可設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx，而根據(jù)f（x+1）-f（x）=-2x+1便可求出a=-1，b=2，從而得出f（x）=-x²+2x；
（2）先由mf（x）＞（m-1）（2x-1）得到（-x²+1）m+2x-1＞0，法1：該不等式在m∈[-2，2]上恒成立，從而看出需討論-x²+1等于0，大于0和小于0三種情況：-x²+1=0時(shí)，可判斷x=1滿足條件，而-x²+1＞0和-x²+1＜0時(shí)，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)（-x²+1）m+2x-1在m∈[-2，2]上的最小值，讓最小值大于0，這樣即可建立關(guān)于x的不等式，解不等式便可得出實(shí)數(shù)x的取值范圍；法2：設(shè)g（m）=（-x²+1）m+2x-1，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；
（3）根據(jù)題意知，函數(shù)f（x）和函數(shù)$y=\frac{1}{x}$至少有兩個(gè)交點(diǎn)，從而解方程$-{x}^{2}+2x=\frac{1}{x}$，看該方程是否有兩個(gè)不同正實(shí)根：若方程有兩個(gè)不同正實(shí)根，則存在正數(shù)a，b，當(dāng)x∈[a，b]時(shí)，f（x）的值域?yàn)?[\frac{1}，\frac{1}{a}]$，并可得出a，b的值，否則不存在這樣的a，b．

解答 解：（1）f（0）=0，∴設(shè)f（x）=ax²+bx；
∴f（x+1）=a（x²+2x+1）+b（x+1）=ax²+bx+2ax+a+b；
∴f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=-2x+1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=-2}\\{a+b=1}\end{array}\right.$；
∴a=-1，b=2；
∴f（x）=-x²+2x；
（2）由mf（x）＞（m-1）（2x-1）得，m（-x²+2x）＞（m-1）（2x-1）對(duì)任意m∈[-2，2]恒成立；
∴（-x²+1）m+2x-1＞0對(duì)m∈[-2，2]恒成立；
法1：①-x²+1=0，即x=±1時(shí)，顯然只有x=1滿足上面不等式成立；
②-x²+1＞0，即-1＜x＜1時(shí)，只需（-x²+1）•（-2）+2x-1＞0；
解得$x＜\frac{-1-\sqrt{7}}{2}$，或$x＞\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$；
∴$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}＜x＜1$；
③-x²+1＜0，即x＜-1，或x＞1時(shí)，只需（-x²+1）•2+2x-1＞0；
解得$\frac{1-\sqrt{3}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}$；
∴$1＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}$；
∴綜上得實(shí)數(shù)x的取值范圍為$（\frac{-1+\sqrt{7}}{2}，\frac{1+\sqrt{3}}{2}）$；
法2：設(shè)g（m）=（-x²+1）m+2x-1，則：
$\left\{\begin{array}{l}{g（-2）=-2（-{x}^{2}+1）+2x-1＞0}\\{g（2）=2（-{x}^{2}+1）+2x-1＞0}\end{array}\right.$；
解得$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{3}}{2}$；
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為（$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}，\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）；
（3）根據(jù)題意知方程$-{x}^{2}+2x=\frac{1}{x}$①至少有兩個(gè)不同的正根；
由上面方程得，x³-2x²+1=0；
∴（x³-x²）-（x²-1）=x²（x-1）-（x+1）（x-1）=（x-1）（x²-x-1）=0；
∴x=1，或x=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$；
∴方程①有兩個(gè)不同的正根$x=1，或x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
∴存在正數(shù)a=1，b=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，使x∈[a，b]時(shí)，f（x）的值域?yàn)?[\frac{1}，\frac{1}{a}]$．

點(diǎn)評(píng) 考查二次函數(shù)的一般形式，多項(xiàng)式相等時(shí)，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，以及一次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性定義求最值，解一元二次不等式，因式分解求高次方程的方法，以及反比例函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在閉區(qū)間上的值域．