Question

【題目】某公司準(zhǔn)備投產(chǎn)一種新產(chǎn)品，經(jīng)測(cè)算，已知每年生產(chǎn)萬(wàn)件的該種產(chǎn)品所需要的總成本（萬(wàn)元），依據(jù)產(chǎn)品尺寸，產(chǎn)品的品質(zhì)可能出現(xiàn)優(yōu)、中、差三種情況，隨機(jī)抽取了1000件產(chǎn)品測(cè)量尺寸，尺寸分別在，，，，，，（單位：）中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到的頻率分布直方圖如圖所示.

產(chǎn)品的品質(zhì)情況和相應(yīng)的價(jià)格（元/件）與年產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系如下表所示.

產(chǎn)品品質(zhì)	立品尺寸的范圍	價(jià)格與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式
優(yōu)
中
差

以頻率作為概率解決如下問題：

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）當(dāng)產(chǎn)量確定時(shí)，設(shè)不同品質(zhì)的產(chǎn)品價(jià)格為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列；

（3）估計(jì)當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，該公司年利潤(rùn)最大，并求出最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析（3）年產(chǎn)量時(shí)，該公司年利潤(rùn)取得最大值，最大利潤(rùn)為138萬(wàn).

【解析】

（1）根據(jù)在頻率分布直方圖中所有小矩形的面積和為1，可以求出實(shí)數(shù)的值；

（2）分別求出當(dāng)產(chǎn)品品質(zhì)為優(yōu)、為中、為差時(shí)的頻率，然后列了分布列，

（3）根據(jù)題意，得到該公司年利潤(rùn)的函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)求出公司年利潤(rùn)最大值.

解：（1）由題意得，解得；

（2）當(dāng)產(chǎn)品品質(zhì)為優(yōu)時(shí)頻率為，此時(shí)價(jià)格為；

當(dāng)產(chǎn)品品質(zhì)為中時(shí)頻率為，此時(shí)價(jià)格為；

當(dāng)產(chǎn)品品質(zhì)為差時(shí)頻率為，此時(shí)價(jià)格為；

以頻率作為概率，可得隨機(jī)變量的分布列為：

	0.5	0.2	0.3

（3）設(shè)公司年利潤(rùn)為，則

整理得，

顯然當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，

∴當(dāng)年產(chǎn)量時(shí)，取得最大值.

估計(jì)當(dāng)年產(chǎn)量時(shí)，該公司年利潤(rùn)取得最大值，最大利潤(rùn)為138萬(wàn).