Question

9．在空間四邊形ABCD中，AB=AC=AD=1
（1）若BC=1，CD=$\sqrt{2}$，∠BCD=90°，求AC與平面BCD所成角的大��；
（2）若BC=CD=BD=$\sqrt{2}$時(shí)，求AC與平面BCD所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）由已知A在面BCD的射影O是△BCD的外心，∠ACO是AC和面BCD所成角，由此能求出AC與平面BCD所成角．
（2）過C作CE⊥BD，交BD于E，過A作AO⊥面BCD，交CE于O，∠ACO是直線AC與平面BCD所成角，由此能求出AC與平面BCD所成角的大�。�

解答 解：（1）∵AB=AC=AD=1，
∴A在面BCD的射影O是△BCD的外心
∵∠BCD=90°，∴O是BD中點(diǎn)，
∵BC=1，CD=$\sqrt{2}$，∠BCD=90°，
∴在Rt△BCD中，由勾股定理得BD=$\sqrt{3}$，
∴OB=OC=OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∠ACO是AC和面BCD所成角，
cos∠ACO=$\frac{OC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴∠ACO=30°，
∴AC與平面BCD所成角為30°．
（2）過C作CE⊥BD，交BD于E，過A作AO⊥面BCD，交CE于O，
∵AB=AC=AD=1，BC=CD=BD=$\sqrt{2}$，
∴E是BD中點(diǎn)，O是△BCD重心，
∴CO=$\frac{2}{3}$CE=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2-\frac{2}{4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵AO⊥面BCD，∴∠ACO是直線AC與平面BCD所成角，
cos∠ACO=$\frac{OC}{AC}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴∠ACO=arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴AC與平面BCD所成角的大小為arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．